从杨辉三角到李善兰垛积术
编者按：本报告基于林开亮博士参加由《知识就是力量》杂志社主办的2016年度 “全国中学生数学/物理/化学科普竞赛”数学科普讲座的通俗报告《从杨辉三角到李善兰垛积术》，林博士特此感谢主办方与石家庄、郑州、西安、青岛、济南各地方机构的盛情邀请和热情接待。他本人亦在西北农林科技大学进行了此报告精彩演讲。感谢林老师授权【好玩的数学】发表。
1、三个数学家的故事
①高斯的故事
我们的故事从德国大数学家高斯（Gauss）讲起：
传说中的高斯解法：利用对称性首尾相加求和
事实上，高斯用的是数学归纳法；他证明了一个更一般的结果
②阿基米德的故事
不过高斯并不是最早得到公式（1）的人，至少古希腊的阿基米德就知道了（1），事实上，阿基米德还得到了下述平方和求和公式
阿基米德有一句名言流传至今：给我一个（地球外）支点，我可以翘起整个地球！你在开门时、用钳子夹核桃就已经应用了这个杠杆原理！
③阿基米德与高斯之间数学家：朱世杰
一个自然的问题是：
历史上第一个给出这类问题解法的，是元代数学家朱世杰。特别地，对上述问题，他给出了答案：
这比欧洲最早得到这个公式的德国数学家莱布尼茨早了300多年。今年恰逢莱布尼茨（1646－1716）逝世300周年。
2、朱世杰：我们的主人公
朱世杰就是我要讲的故事的主人公，我们不仅仅要介绍他是如何得到立方求和公式（3）的，还要介绍他的方法（裂项求和）如何可以求出一般的前n个数的p次方的和，即如何得到这样的公式：
朱世杰现在对大家来说也许只是个陌生的名字，但我希望报告结束后你会得到这样的认识，他位列古代最伟大数学家的行列。
朱世杰生活的大时代
世界
①中世纪（Middle Ages， 大约500--1400 ）的漫漫长夜长达近千年，代表事件分别是罗马帝国的灭亡与文艺复兴。
②中世纪的数学最辉煌的地域是中国（宋元四大家）、印度（婆罗摩笈多）、波斯（海亚姆）、意大利（斐波那契）。
③翻译传播希腊与印度的数学和科学
中国
①宋元（960-1279-1368）四百年是中国古代数学的黄金时代，涌现出四位大数学家，人称“宋元四大家”：
南宋：李冶（1192-1279）、秦九韶（1202-1261）、杨辉（约1238 -1298）、元：朱世杰（1249-1314）
②四人皆有著作，成就了中国古代数学的最高峰
评注1：美国著名科学史家萨顿(G. Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代最伟大的数学家之一。”这个评价同样适用于李冶和朱世杰。
评注2：“宋元四大家”中真正能称得上“大家”只有三位——秦九韶、李冶和朱世杰，而杨辉主要是数学教育家，把他算进来有点牵强。此外，在四人中，我们对杨辉的生平也是了解最少的。
3、宋元四大家
①宋元四大家之秦九韶
秦九韶，字道古，生于安岳（今四川安岳县）。南宋数学家、官员。
代表作《数书九章》18卷（我表示遗憾：北师大版高中数学教材必修5 第51页居然说成《数学九章》！）。
成就：
①中国剩余定理（秦九韶定理），比西方的欧拉早500年。它包含在一个称为“大衍总数术”的巧妙算法中。
②高次方程的数值解法，比西方的霍纳早500年。
③三角形的海伦——秦九韶面积公式（据说这公式阿基米德也已经知道）
②宋元四大家之李冶
李冶，字仁卿，栾城（今河北栾城县）人，南宋数学家、天文学家、历史学家，进士出身，曾有官职，后归隐封龙山收徒讲学。
著有《测圆海镜》、《益古演段》。
其贡献在于引入了名为“天元”（相当于“嫌疑人X”）的未知数概念，创立了利用未知数建立方程的方法（天元术），为几何的代数化铺平了道路。
此外，李冶还与秦九韶各自独立地引进记号〇表示空位。至此，中国十进制完善了。
③宋元四大家之杨辉
杨辉，字谦光，临安（今杭州）人，南宋数学家和数学教育家，曾担任地方官。
著有《详解九章算法》、《日用算法》、《杨辉算法》。
成就：
发扬光大了沈括、贾宪的数学成就。此外，杨辉还是中国第一个系统研究幻方（Magic square）的人。最早的幻方也出自中国，洛书，又称九宫格。它也出现在金庸的《射雕英雄传》中，请看这里：
https://v.qq.com/txp/iframe/player.html?vid=f13190hjjw2&width=500&height=375&auto=0
①将沈括《梦溪笔谈》中的“隙积术”普及，作为特例，他不仅给出了阿基米德的求和公式(2)，还给出了下述三角垛的求和公式：
沈括、杨辉所考虑的这类“堆垛”问题的推广，用现代术语来说即“高阶等差数列的求和”。这一问题后来被朱世杰所创立的“垛积招差术”彻底解决，他所依赖的工具之一就是杨辉的另一项成就。
②从贾宪（现已失传）的工作中发掘出二项式系数的“贾宪三角”关系，今人称之为“杨辉三角”，因为它出现在杨辉的《详解九章算法》中。西方称之为帕斯卡三角，事实上帕斯卡比杨辉都晚生了近400年。先后有许多数学家独立发现这一结果，都说明了，这是一个基本的发现。
杨辉三角最基本的性质是（杨辉恒等式）：
备注：维基百科中的帕斯卡三角>>>
https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle
④宋元四大家之朱世杰
朱世杰，字汉卿，燕山（今北京）人，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。
著有《算学启蒙》、《四元玉鉴》。
当代著名数学家吴文俊（中科院院士、2000年国家最高科学技术奖得主）对《四元玉鉴》有高度评价：这本书标志着我国传统数学的顶峰。
成就：
吴文俊关于数学机械化的开创性工作，得益于朱世杰《四元玉鉴》求解多元多项式方程组的工作（“四元术”）以及20世纪美国数学家李特（J. F. Ritt）的工作。
①将李冶的天元术发展为四元术，用以求解多元多项式方程组。所谓四元即四个未知数的名称，称之为天、地、人、物。 正是这项成就启发了吴文俊开创了数学机械化的工作。
②将沈括、杨辉的“隙积”、“堆垛”术系统发展，得到“垛积术”的基本关系式，也就是现在所谓的“朱世杰恒等式”，它是阿基米德求和式（1）和杨辉三角垛求和公式（2*）的自然推广：
在朱世杰恒等式（A）中令p=1，2就得到阿基米德求和式（1）和杨辉的三角垛求和公式（2*）。[用字母C是因为它是组合单词combination的首字母。]
“垛积”中的“垛”是高阶等差数列（高次多项式）的几何对应物，例如“三角垛”其实就是三角形数，回忆起阿基米德公式
有各种各样的整数值多项式，从而有各种各样的垛状数（Figurate numbers)。见维基百科>>>https://en.wikipedia.org/wiki/Figurate_number
“垛积”中的“积”其实是“求和”的意思。因此“垛积”的意思就是高阶等差数列的求和。“垛积术”的要诀就是今人所谓的“裂项求和”。而如何“裂项”则是朱世杰的第3项成就。这是本报告中最微妙的部分，接下来我们重点介绍。
③完善了元代郭守敬《授时历》中所用的招差术，得到了四阶等差数列的招差公式。用现代数学术语来说，朱世杰的四阶招差公式相当于说：若f(n)是一个四次多项式，则
其中系数
举例：
由于朱世杰完全掌握这一算法，可以我们有理由推断，他事实上得到了任意次数的多项式的招差公式，这个结果在西方最早由300多年以后的英国数学家格里高利和牛顿分别得到。不过牛顿的同胞泰勒在牛顿差分公式的基础上更进一步（取极限）而得到了微积分的基本结果（泰勒定理）。中国没有产生微积分。朱世杰的招差术是离散的微分，朱世杰的垛积术是离散的积分，所以我们这里讲的就是离散的微积分。它距离连续的微积分只有一步之遥。
有了招差术和垛积术，那么高阶等差数列（p阶等差数列的通项公式就是p次多项式f(n)）的求和就是水到渠成的了。例如，根据前面的结果，可以求得前n个数的四次方和公式
朱世杰正是用同样的方法求得了前n个数的立方和公式（3）。留给有兴趣的读者。[一定要动手！数学不是光靠看书听讲就能学会的。动笔算过之后，印象会更深刻。数学家的最重要的两样武器：笔和纸。]
类似的，可以想见，朱世杰的“垛积招差术”可以解决一般的p次幂求和
这个问题朱世杰本人并未考虑，他留给了清代的李善兰。不过在此之前，西方人（例如费马）已经解决了这个问题，因为他们要求幂函数 在[0,1]上的面积。这个公式称为福尔哈伯公式（Faulhaber’s formula）。20世纪大数学家西格尔（Siegel)曾这样说：第一个发现这个公式的人（可能是11世纪的埃及数学家海塞姆）必定博得了上帝的欢喜(It pleased the dear Lord.)。
【小引：幂函数(power function)，杨幂=杨平方】
秦九韶、李冶、朱世杰之比较
南秦北李一时瑜亮，相得益彰
秦九韶的《数书九章》与李冶的《测圆海镜》几乎同时完成，甚至不约而同地引入了记号〇，但他们从未提到对方的工作，也许他们根本不认识对方。事实上，他们分别属于两个敌对的王朝，秦李二人的工作（求解与建立方程）互为补充，交相辉映。二者合在一起，正是中国古代数学黄金时代的标志。
朱世杰集众家之大成后来居上
与宋代的秦、李、杨不同，朱世杰一生未入仕途，以数学名家之身份周游湖海二十余年，吸收并发展了秦、李、杨、郭的成就。他的成就大概可以用丘成桐先生的一副楹联来形容：
地有南北，无疆域始成大业；
学无先后，有德才方是贤人。
道古桥的故事
当代数学家蔡天新是秦九韶超级粉丝，他曾“突发奇想”，建议并敦促杭州市政府为纪念秦九韶的道古桥复名立碑。这一建议后来被采纳，并请数学家王元（华罗庚的弟子）题写了桥名。这正是七百多年前的一段数学佳话的回响：
1238 年，秦九韶回临安丁父忧，见河上无桥，两岸人民往来很不便，便亲自设计，再通过朋友从府库得到银两资助，在西溪河上造了一座桥。桥建好后，原本没有名字，因桥建在西溪河上，习惯上被叫作“西溪桥”。直到元代初，另一位大数学家、游历四方的北方人朱世杰来到杭州，才倡议将“西溪桥”更名为“道古桥”，以纪念造桥人、他所敬仰的前辈数学家秦九韶，并亲自将桥名书镌桥头。
秦九韶、朱世杰、王元和蔡天新，让道古桥变成了一座有故事的桥。它起初只是横跨西溪，而如今已经纵贯古今，连接了前后七八百年的数学家，是数学史和数学文化的活字碑。
蔡天新教授在道古桥留影（蔡天新教授提供）
4、宋元之后的数学（明、清）
明朝数学
宋元之后，数学衰微了。但明朝有两件事情对数学发展有重要的影响，特别值得一提。
⑴、《永乐大典》（ 成书11095册，“世界有史以来规模最大的百科全书”）的编撰，这让宋元时代以及更早的数学著作得以保存，可惜《永乐大典》留存不全，现存的除大陆和台湾，其它地方如日本、美国、英国、德国、越南、韩国都非法占有。我们所展示的杨辉三角就取自英国剑桥大学图书馆收藏的一册《永乐大典》（感谢中科院数学所李文林教授）。
⑵、意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci）1600 年到北京，与徐光启合译欧几里得《几何原本》前六卷，这是西方数学传入中国的开端。利玛窦（醉翁之意不在酒）旨在传教，因此只配合徐光启翻译了前六卷。200多年后，其后的九卷由李善兰和英国人伟烈亚力（ Wylie ）合作翻译而成。
清朝数学
中国历史上有三个帝王对科学感兴趣：北宋仁宗赵祯、元世祖忽必烈（礼遇李冶）、清康熙皇帝。但对数学最有兴趣的首推康熙。[从世界的眼光来看，则有俄国的彼得大帝、法兰西帝国的始皇帝拿破仑、新加坡现任总理李显龙，中国国家副主席李源潮]
莱布尼兹曾给彼得大帝和康熙大帝写亲笔信，建议成立科学院。
彼得很有眼光，在圣彼得堡建立了科学院并邀请欧拉（Euler）到此工作，俄国的数学一下子前进了几百年。彼得要求臣子们都学数学：“老子都能学会，你们都得给老子学会！”
康熙也学数学，并要求臣子学，但他是这么说的：“看你们多蠢，这玩意只有老子能学会！”他只是想借此炫耀自己聪明高人一等，根本没有想过要把数学作为一门学问一股动力来发展。
康熙学数学的故事我不是权威，因此只能点到为止。最近牛津大学出了一本专著讲这个故事，作者Catherine Jami的中文名詹嘉玲。
清朝的历史有个特点：从康熙到雍正之过渡非常之激荡剧烈，正史似乎没有交代明白，不过这在曹雪芹的《红楼梦》一书中有深刻的反映。
雍正元年（1723年），雍正下令将西洋传教士驱逐到澳门，此后一百余年，西方数学的传入中止。（老子勤学好问，儿子不学无术！）
5、清代数学家
乾隆三十八年（1773年），朝廷组织编辑《四库全书》、辑录《永乐大典》，发现了宋元数学家如杨辉、秦九韶、朱世杰、李冶的名著，掀起研究古典数学的高潮。出现了许多创造性的工作，特别值得一提的是李善兰。
李善兰，1811-1882，浙江海宁人，清代数学家、数学教育家。他的突出贡献是继承、发展了朱世杰的“垛积术”，这总结在他的四卷本著作《垛积比类》中。特别的，他提出了一个新的组合恒等式，后人称之为李善兰恒等式。有兴趣的读者可见华罗庚的小册子《数学归纳法》或者我本人挂在善科网上的小文章：
作为19世纪“极客”的李善兰
高德纳(D.E.Knuth，)，美国计算机科学家、数学家,1974 年图灵奖获得者、计算机算法和程序设计技术的先驱，著有编程圣经《计算机程序设计艺术》。他在2014年的一个访谈里提到了李善兰，把李善兰和历史上的多位大数学家一并列为19世纪的“极客”同行。
我要解释的是极客（美国俚语“geek”的音译。随着互联网文化的兴起，这个词含有智力超群和努力的语意，又被用于形容对计算机和网络技术有狂热兴趣并投入大量时间钻研的人）。世界人口的一小部分已经获取了一种特殊的思维方式，我碰巧也在其中。为简单起见，让我说像我这这样的人是“极客”，他们约占世界人口的2%。
那么，19 世纪早期的极客都有谁呢？我认为，在1814 年之前出生的极客（虽然他们一般被认为是数学家），有阿贝尔（1802 年），雅可比（1804 年）、哈密尔顿（1805 年）、柯克曼（1806 年）、德·摩根（1806 年）、刘维尔（1809 年）、库默尔（1810 年）和中国的李善兰（1811 年）。我列出的这些“数学家”的著作令我着迷。1814 年以后出生的极客，有卡特兰（1814 年）、西尔维斯特（1814 年）、布尔（1815 年）、维尔斯特拉斯（1815 年）和博尔夏特（1817 年）。我会喜欢与这些人为伍，如果幸运的话，我可能也会做着与他们类似的事。
顺便说一句，我认为历史上第一个归类为“百分之百极客”的人是图灵（电影《模仿游戏》的主人公原型）。他的许多前辈有很强的极客症状，但图灵确实是完全地“极客”化了。
作为翻译家的李善兰
前面我们已经提到李善兰的翻译工作，例如他与伟烈亚力翻译了欧几里得《几何原本》后九卷，他们还合译了德·摩根的《代数学》，美国数学家罗密士（E. Loomis）的微积分著作《代微积拾级》，还与伟烈亚力、傅兰雅（J. Fryer）翻译了牛顿（Newton）的《自然哲学之数学原理》。
李善兰确立了一些科学名词的翻译，如微积分（calculus）中的微分（differentiation ） 、积分（integration ） 、函数（function ）；我们今天所讲的对应的离散概念：差分（difference）、求和（summation）、数列（sequence）。
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